JARAK DAN PERPINDAHAN

Pengertian Gerak

Coba kamu perhatikan benda-benda di sekitarmu! Adakah yang diam? Adakah yang bergerak? Batu-batu di pinggir jalan diam terhadap jalan kecuali jika ditendang oleh kaki maka benda tersebut akan bergerak, rumah-rumah di sekitar kita diam terhadap pohon-pohon di sekelilingnya, seseorang berlari pagi di taman, dikatakan orang tersebut bergerak terhadap jalan, batu-batu, rumah-rumah, maupun pohon-pohon yang dilewatinya, dan masih banyak lagi. Jadi apakah yang disebut gerak itu?

Suatu benda dikatakan bergerak jika benda itu mengalami perubahan kedudukan terhadap titik tertentu sebagai acuan. Jadi, gerak adalah perubahan posisi atau kedudukan terhadap titik acuan tertentu. Gerak juga dapat dikatakan sebagai perubahan kedudukan suatu benda dalam selang waktu tertentu. Berbeda halnya dengan peristiwa berikut, orang berlari di mesin lari fitnes (mesin kebugaran), anak yang bermain komputer dan lain sebagainya. Apakah mereka mengalami perubahan posisi atau kedudukan dalam selang waktu tertentu?

Kegiatan tersebut tidak mengalami perubahan posisi atau kedudukan karena kerangka acuannya diam. Penempatan kerangka acuan dalam peninjauan gerak merupakan hal yang sangat penting, mengingat gerak dan diam itu mengandung pengertian yang relatif. Sebagai contoh, ada seorang yang duduk di dalam kereta api yang sedang bergerak, dapat dikatakan bahwa orang tersebut diam terhadap kursi yang didudukinya dan terhadap kereta api tersebut, namun orang tersebut bergerak relatif terhadap stasiun maupun terhadap pohon-pohon yang dilewatinya.

Jarak dan Perpindahan

Jarak dan perpindahan mempunyai pengertian yang berbeda. Misalkan Fira berjalan ke barat sejauh 4 km dari rumahnya, kemudian 3 km ke timur. Berarti Fira sudah berjalan menempuh jarak 7 km dari rumahnya, sedangkan perpindahannya sejauh 1 km.

Berbeda halnya dengan contoh berikut. Seorang siswa berlari mengelilingi lapangan satu kali putaran. Berarti ia menempuh jarak sama dengan keliling lapangan, tetapi tidak menempuh perpindahan karena ia kembali ke titik semula.

Contoh lain, ada seorang pejalan kaki bergerak ke utara sejauh 3 km, kemudian berbelok ke timur sejauh 4 km, lalu berhenti. Berapa jarak yang ditempuh siswa tersebut? Berapa pula perpindahannya?

Jarak yang ditempuh siswa tersebut berarti keseluruhan lintasan yang ditempuh yaitu 3 km + 4 km = 7 km, sedangkan perpindahannya sepanjang garis putus-putus pada Gambar, yaitu 5 km (menggunakan phytagoras).

Dengan demikian, jarak didefinisikan sebagai panjang seluruh lintasan yang ditempuh. Perpindahan merupakan jarak dan arah dari kedudukan awal ke kedudukan akhir atau selisih kedudukan akhir dengan kedudukan awal. Jarak merupakan besaran skalar, sedangkan perpindahan merupakan besaran vektor.

rumus bangun datar

Rumus Bujur Sangkar
Bujur sangkar adalah bangun datar yang memiliki empat buah sisi sama panjang
– Keliling : Panjang salah satu sisi dikali 4 (4S) (AB + BC + CD + DA)
– Luas : Sisi dikali sisi (S x S)
Rumus Persegi Panjang
Persegi panjang adalah bangun datar mirip bujur sangkar namun dua sisi yang berhadapan lebih pendek atau lebih panjang dari
dua sisi yang lain. Dua sisi yang panjang disebut panjang, sedangkan yang pendek disebut lebar.
– Keliling : Panjang tambah lebar kali 2 ((p+l)x2) (AB + BC + CD + DA)
– Luas : Panjang dikali lebar (pl)
Rumus Segitiga
– Keliling : Sisi pertama + sisi kedua + sisi ketiga (AB + BC + CA)
– Luas : Panjang alas dikali pangjang tinggi dibagi dua (a x t / 2)
Rumus Lingkaran
– Keliling : diameter dikali phi (d x phi) atau phi dikali 2 jari-jari (phi x (r + r)
– Luas : phi dikali jari-jari dikali jari-jari (phi x r x r)
– phi = 22/7 = 3,14
Rumus Jajar Genjang atau Jajaran Genjang
– Keliling : Penjumlahan dari keempat sisi yang ada (AB + BC + CD + DA)
– Luas : alas dikali tinggi (a x t)
Rumus Belah Ketupat
– Keliling : Penjumlahan dari keempat sisi yang ada (AB + BC + CD + DA)
– Luas : alas dikali panjang diagonal dibagi 2 (a x diagonal / 2)
– Diagonal : Garis tengah dua sisi berlawanan
Rumus Trapesium
– Keliling : Penjumlahan dari keempat sisi yang ada (AB + BC + CD + DA)
– Luas : Jumlah sisi sejajar dikali tinggi dibagi 2 ((AB + CD) / 2)

PEMUAIAN ZAT KELAS VII

PEMUAIAN ZAT

Kereta api merupakan alat transportasi darat yang relatif aman dan nyaman serta dapat mengangkut penumpang dalam jumlah yang banyak. Kereta berjalan di atas rel. Pada sambungan rel kereta api terdapat sebuah celah, Mengapa harus ada celah? Celah tersebut pada malam hari lebar, sedangkan siang hari menjadi sempit karena terkena sinar matahari.

Sebagian besar zat akan memuai bila dipanaskan dan menyusut ketika didinginkan. Bila suatu zat dipanaskan (suhunya dinaikkan) maka molekul-molekulnya akan bergetar lebih cepat dan amplitudo getaran akan bertambah besar, akibatnya jarak antara molekul benda menjadi lebih besar dan terjadilah pemuaian. Pemuaian adalah bertambahnya ukuran benda akibat kenaikan suhu zat tersebut. Pemuaian dapat terjadi pada zat padat, cair, dan gas.

Pemuaian Zat Padat
Coba kamu amati bingkai kaca jendela di ruang kelasmu! Adakah bingkai jendela yang melengkung? Tahukah kamu apa sebabnya? Bingkai jendela tersebut melengkung tidak lain karena mengalami pemuaian. Pemuaian yang terjadi pada benda, sebenarnya terjadi pada seluruh bagian benda tersebut. Namun demikian, untuk mempermudah pemahaman maka pemuaian dibedakan tiga macam, yaitu pemuaian panjang, pemuaian luas, dan pemuaian volume.

1. Pemuaian Panjang
Pernahkah kamu mengamati kabel jaringan listrik pada pagi hari dan siang hari? Kabel jaringan akan tampak kencang pada pagi hari dan tampak kendor pada siang hari. Kabel tersebut mengalami pemuaian panjang akibat terkena panas sinar matahari. Alat yang digunakan untuk menyelidiki pemuaian panjang berbagai jenis zat padat adalah musschenbroek. Pemuaian panjang suatu benda dipengaruhi oleh panjang mula-mula benda, besar kenaikan suhu, dan tergantung dari jenis benda.

Alat Musschenbroek

Besarnya panjang logam setelah dipanaskan adalah sebesar
Besarnya panjang zat padat untuk setiap kenaikan 1ºC pada zat sepanjang 1 m disebut koefisien muai panjang (α). Hubungan antara panjang benda, suhu, dan koefisien muai panjang dinyatakan dengan persamaan
Keterangan:
L = Panjang akhir (m)
L0 = Panjang mula-mula (m)
ΔL = Pertambahan panjang (m)
α = Koefisien muai panjang (/ºC)
Δt = kenaikan suhu (ºC)

Beberapa Koefisien Muai Panjang Benda

2. Pemuaian Luas
Jika yang dipanaskan adalah suatu lempeng atau plat tipis maka plat tersebut akan mengalami pemuaian pada panjang dan lebarnya. Dengan demikian lempeng akan mengalami pemuaian luas atau pemuaian bidang. Pertambahan luas zat padat untuk setiap kenaikan 1ºC pada zat seluas 1 m^2 disebut koefisien muai luas (β). Hubungan antara luas benda, pertambahan luas suhu, dan koefisien muai luas suatu zat adalah
Keterangan:
A = Luas akhir (m2)
Δ0 = Pertambahan luas (m2)
A0 = Luas mula-mula (m2)
β = Koefisien muai luas zat (/º C)
Δt = Kenaikan suhu (ºC)

Besarnya β dapat dinyatakan dalam persamaan berikut.

3. Pemuaian Volume
Jika suatu balok mula-mula memiliki panjang P0, lebar L0, dan tinggi h0 dipanaskan hingga suhunya bertambah Δt, maka berdasarkan pada pemikiran muai panjang dan luas diperoleh harga volume balok tersebut sebesar
dimana

Keterangan:
V = Volume akhir (m^3)
V0 = Volume mula-mula (m^3)
ΔV = Pertambahan volume (m^3)
γ = Koefisien muai volume (/ºC)
Δt = Kenaikan suhu (ºC)

Pemuaian Zat Cair
Pada zat cair tidak melibatkan muai panjang ataupun muai luas, tetapi hanya dikenal muai ruang atau muai volume saja. Semakin tinggi suhu yang diberikan pada zat cair itu maka semakin besar muai volumenya. Pemuaian zat cair untuk masing-masing jenis zat cair berbeda-beda, akibatnya walaupun mula-mula volume zat cair sama tetapi setelah dipanaskan volumenya menjadi berbeda-beda. Pemuaian volume zat cair terkait dengan pemuaian tekanan karena peningkatan suhu. Titik pertemuan antara wujud cair, padat dan gas disebut titik tripel.
Anomali Air
Khusus untuk air, pada kenaikan suhu dari 0º C sampai 4º C volumenya tidak bertambah, akan tetapi justru menyusut. Pengecualian ini disebut dengan anomali air. Oleh karena itu, pada suhu 4ºC air mempunyai volume terendah. Hubungan volume dengan suhu pada air dapat digambarkan pada grafik berikut.
Pada suhu 4ºC, air menempati posisi terkecil sehingga pada suhu itu air memiliki massa jenis terbesar. Jadi air bila suhunya dinaikkan dari 0ºC – 4ºC akan menyusut, dan bila suhunya dinaikkan dari 4ºC ke atas akan memuai. Biasanya pada setiap benda bila suhunya bertambah pasti mengalami pemuaian. Peristiwa yang terjadi pada air itu disebut anomali air. Hal yang sama juga terjadi pada bismuth dengan suhu yang berbeda. 

Pemuaian pada Gas
Mungkin kamu pernah menyaksikan mobil atau motor yang sedang melaju di jalan tiba-tiba bannya meletus?. Ban mobil tersebut meletus karena terjadi pemuaian udara atau gas di dalam ban. Pemuaian tersebut terjadi karena adanya kenaikan suhu udara di ban mobil akibat gesekan roda dengan aspal.

Pemuaian pada gas adalah pemuaian volume yang dirumuskan sebagai
γ adalah koefisien muai volume. Nilai γ sama untuk semua gas, yaitu 1/273 ºC^-1

Pemuaian gas dibedakan tiga macam, yaitu:
a. pemuaian gas pada suhu tetap (isotermal),
b. pemuaian gas pada tekanan tetap (isobar), dan
c. pemuaian gas pada volume tetap (isokhorik).

1. Pemuaian Gas pada Suhu Tetap (Isotermal)
Pernahkah kalian memompa ban dengan pompa manual. Apa yang kalian rasakan ketika baru pertama kali menekan pompa tersebut? Apa yang kalian rasakan ketika kalian menekannya lebih jauh? Awalnya mungkin terasa ringan. Namun, lama kelamaan menjadi berat. Hal ini karena ketika kita menekan pompa, itu berarti volume gas tersebut mengecil. Pemuaian gas pada suhu tetap berlaku hukum Boyle, yaitu gas di dalam ruang tertutup yang suhunya dijaga tetap, maka hasil kali tekanan dan volume gas adalah tetap. Dirumuskan sebagai:
Keterangan:
P = tekanan gas (atm)
V = volume gas (L)

2. Pemuaian Gas pada Tekanan Tetap (Isobar)
Pemuaian gas pada tekanan tetap berlaku hukum Gay Lussac, yaitu gas di dalam ruang tertutup dengan tekanan dijaga tetap, maka volume gas sebanding dengan suhu mutlak gas. Dalam bentuk persamaan dapat dituliskan sebagai:
Keterangan:
V = volume (L)
T = suhu (K)

3. Pemuaian Gas Pada Volume Tetap (Isokhorik)
Pemuaian gas pada volume tetap berlaku hukum Boyle-Gay Lussac, yaitu jika volume gas di dalam ruang tertutup dijaga tetap, maka tekanan gas sebanding dengan suhu mutlaknya. Hukum Boyle-Gay Lussac dirumuskan sebagai
Dengan menggabungkan hukum boyle dan hukum Gay Lussac diperoleh persamaan
Keterangan:
P = tekanan (atm)
V = volume (L)
T = suhu (K)

rurmus perkalian aljabar!

Rumus Perkalian Aljabar dan Pembagian Aljabar Matematika 

Rumus Perkalian Aljabar – Rumus Perkalian aljabar dan pembagian aljabar merupakan bentuk dari operasi hitung aljabar . Rumus perkalian aljabar prinsipnya sama halnya dengan perkalian dalam operasi hitung perkalian bilangan bulat dan begitu juga pembagian aljabar sama halnya dengan  pembagian dalam bentuk bilangan bulat . Setelah kita tahu bagaimana prinsip mengalikan dan membagi bilangan , maka sekarang dalam mempelajari bentuk aljabar tidak akan sulit , karena tinggal mengaplikasikannya dalam bentuk aljabar.

Perkalian Bentuk Aljabar

Berbeda dengan penjumlahan dan pengurangan aljabar , dalam perkalian aljabar . Yang dikalikan bukan hanya koefisiennya saja , namun semua komponennya harus dikalikan .

Dan untuk menyelesaikannya digunakan metode distributif .

Bentuk perkalian satu bilangan dengan aljabar suku dua  

advertisements

a ( bn) = abn    { suku satu }

a ( bn + c ) = abn + ac

a ( n + c ) = an + ac

bn ( n + c ) = bn²  + bcn

Keterangan :

a= sebuah bilangan

n = variabel

b = koefisien

c = konstanta

Bentuk perkalian satu bilangan dengan aljabar suku tiga :

an ( n²  + n – b ) =  an³ + a n²  -b

Untuk lebih memahami tentang penjelasan diatas , perhatikan contoh soal di bawah ini :

a. Tentukan hasil perkalian dari bentuk aljabar berikut :

1. 2x ( 3x + 4 y )
2. 3y ( 2x + 6y )
3. 4y ( 2x + 3y )
4. x ( x² – x + 1 )
5. 4x ( x²  + 2 + 8 )
6. 2 ( 3x + 4 ) + 6x ( x +2 )
7. -4 ( x + 6 ) – 2 ( 4x – 6 )
8. 6x ( 2x – 3y )
9. 6 ( x²  + 2 + 1 )
10. 2 ( 6x )

Jawab :

1. 2x ( 3x + 4 y )  = 6 x²  +  8xy

2. 3y ( 2x + 6y )  = 6xy +  18y²

3. 4y ( 2x + 3y ) = 8xy + 12 y²

4. x ( x² – x + 1 ) =  x³ –  x²  + x

5. 4x ( x²  + 2 + 8 ) = 4 x³  + 8x + 32x

6. 2 ( 3x + 4 ) + 6x ( x +2 )

= 6x + 8 + 6x² + 12x

= 6x²  + 6x + 12 x + 8

=   6x² + 18x + 8

7. -4 ( x + 6 ) – 2 ( 4x – 6 )

= -4x – 24 – 8x + 12

= -12x – 12

8. 6x ( 2x – 3y ) =  12x² –  18xy

9. 6 ( x²  + 2 + 1 ) = 6 x² + 12 + 6

10. 2 ( 6x ) = 12x

b. Sebuah tanah yang berbentuk segi panjang memiliki lebar ( n+ 2 ) dan panjangnya ( 6n +2 ) ,maka hitunglah Luas tanah tersebut dan panjang serta lebar apabila variabel n = 2  !

Penyelesaian :

Diketahui :

p = 6n +2

l = n + 2

Ditanya :

1.Luas tanah

2. P dan l  , jika n = 2

Jawab :

1. L tanah = p  x l

                         = ( 6n + 2 ) x ( n+ 2 )

                         = 6n x n + 6n x 2 + 2 x n + 2 x 2

                          = 6n²  + 12n + 2n + 4

                           = 6n² + 14n + 4

Jadi , Luas tanah tersebut dalam bentuk aljabar =  6n² + 14n + 4

atau apabila n= 2

Luas =  6n² + 14n + 4

         =6( 2² ) + 14(2) + 4

         = ( 6 x 4 ) + 28 + 4

         = 24 + 28 + 4

         = 56

2.  p = 6n +2 =  6(2) + 2 = 14

l = n + 2 = 2 + 2 = 4

Jadi , panjang nya adalah 14 dan lebarnya adalah 4

Pembagian Bentuk Aljabar

Operasi hitung dalam pembagian bentuk aljabar , yaitu sama halnya dengan pembagian bentuk bilangan bulat . Dalam bentuk bilangan bulat , untuk menyelesaikan suatu permasalahan pembagian bentuk aljbar maka langkah pertama harus mengetahui faktor persekutuan dari bentuk aljabar tersebut .

Bentuk pembagian aljabar :

 an : a  = an/a

             = n

keterangan :

Dalam pembagian bentuk aljabar , langkah pertama yaitu merubah menjadi bentuk pecahan dimana penyebutnya adalah pembaginya .

Setelah mengubah menjadi bentuk pecahan maka selanjutnya adalah menentukan faktor persekutuan dari kedua bentuk aljabar tersebut .

Untuk memudahkan dalam mempelajari operasi hitung dalam pembagian bentuk aljabar , perhatikan contoh soal dibawah ini :

a. Tentukan hasil pembagian dari bentuk – bentuk aljabar berikut :

1. 2x : 2
2. 24x² y + 12 xy²  : 4xy
3. 10r : 2r
4. ( 8p³ + 10p²  – 12 p ) : ( -2p )

Jawab :

1.) 2x : 2 = 2x / 2

            = x

2.)  24x² y + 12 xy²  : 4xy

Cara 1

  24x² y + 12 xy²    /   4xy

 = 24x² y  / 4xy  +    12xy²  / 4xy

= 6x + 3y

Cara 2 

 24x² y + 12 xy²    /   4xy  >> faktor persekutuannya adalah 4xy

= 4xy ( 6x + 3y ) / 4xy

=  4xy ( 6x + 3y ) / 4xy 

= 6x + 3y

3.)  10r : 2r     =   10r / 2r

                          = 5

4.)  ( 8p³ + 10p²  – 12 p ) : ( -2p )

=  ( 8p³ + 10p²  – 12 p ) /  ( -2p )

=  8p³ + 10p²  – 12 p  /  -2p

=  -4p²  – 5p + 6

Demikian penjelasan mengenai Rumus Perkalian Aljabar dan Pembagian Aljabar . Pada dasarnya , tidak ada masalah yang sulit . Kunci dari permasalahan matematika yaitu karena kita malas untuk memahaminya . Semakin banyak kita berlatih untuk menyelesaikan suatu soal matematik , maka semakin banyak pula kesulitan yang akan terpecahkan . Kunci dari perkalian aljabar adalah kalikan semua suku – suku yang terdapat dalam bentuk aljabar . Sedangkan kunci dari pembagian aljabar adalah membagikan antar suku dengan faktor persekutunya . Semoga bermanfaat ,

GAYA ANTAR PARTIKEL

Adhesi dan Kohesi
Hal lain yang dapat kita ketahui adalah adanya tarik-menarik antar partikel. Gaya tarik-menarik antarpartikel dapat terjadi antara partikel-partikel yang sejenis dan antara partikel-partikel yang tidak sejenis. Setetes air yang jatuh di kaca meja akan berbeda bentuknya bila dijatuhkan pada sehelai daun talas. Mengapa demikian?

Antara molekul-molekul air terjadi gaya tarik-menarik yang disebut dengan gaya kohesi molekul air. Gaya kohesi diartikan sebagai gaya tarik menarik antara partikel-partikel zat yang sejenis. Pada saat air bersentuhan dengan benda lain maka molekul molekul bagian luarnya akan tarik-menarik dengan molekul-molekul luar benda lain tersebut. Gaya tarik-menarik antara partikel zat yang tidak sejenis disebut gaya adhesi. Gaya adhesi antara molekul air dengan molekul kaca berbeda dibandingkan gaya adhesi antara molekul air dengan molekul daun talas. Demikian pula gaya kohesi antar molekul air lebih kecil daripada gaya adhesi antara molekul air dengan molekul kaca. Itulah sebabnya air membasahi kaca dan berbentuk melebar. Namun air tidak membasahi daun talas dan tetes air berbentuk bulat-bulat menggelinding di permukaan karena gaya kohesi antarmolekul air lebih besar daripada gaya adhesi antara molekul air dan molekul daun talas.

1. Gaya adhesi adalah gaya tarik-menarik dua partikel atau lebih dari partikel yang tidak sejenis. Mengakibatkan sebuah zat dapat menempel pada zat yang lain. Contoh: Air dapat menempel di kaca.
2. Gaya kohesi adalah gaya tarik menarik dua partikel atau lebih dari partikel yang sejenis. Mengakibatkan sebuah zat tidak dapat menempel pada zat yang lain. Contoh: Air tidak dapat menempel pada daun talas.

Meniskus
Gaya kohesi maupun gaya adhesi juga mempengaruhi bentuk permukaan zat cair dalam wadahnya. Misalkan ke dalam dua buah tabung reaksi masing-masing diisikan air dan raksa. Apa yang terjadi? Permukaan air dalam tabung reaksi berbentuk cekung disebut meniskus cekung, sedangkan permukaan raksa dalam tabung reaksi berbentuk cembung disebut meniskus cembung.

Hal itu dapat dijelaskan bahwa gaya adhesi molekul air dengan molekul kaca lebih besar daripada gaya kohesi antar molekul air, sedangkan gaya adhesi molekul raksa dengan molekul kaca lebih kecil daripada gaya kohesi antara molekul raksa. Meniskus cembung maupun meniskus cekung menyebabkan sudut kontak antara bidang wadah (tabung) dengan permukaan zat cair berbeda besarnya. Meniskus cembung menimbulkan sudut kontak tumpul (> 90^o), sedangkan meniskus cekung menimbulkan sudut kontak lancip (< 90^o)

Kapilaritas 
Gaya kohesi dan gaya adhesi berpengaruh pada gejala kapilaritas. Kapilaritas adalah gejala naik atau turunnya cairan di dalam pipa kapiler atau pipa kecil. Sebuah pipa kapiler kaca bila dicelupkan pada tabung berisi air akan dijumpai air dapat naik ke dalam pembuluh kaca pipa kapiler, sebaliknya bila pembuluh pipa kapiler dicelupkan pada tabung berisi air raksa akan dijumpai bahwa raksa di dalam pembuluh kaca pipa kapiler lebih rendah permukaannya dibandingkan permukaan raksa dalam tabung.

Jadi, kapilaritas sangat tergantung pada kohesi dan adhesi. Air naik dalam pembuluh pipa kapiler dikarenakan adhesi sedangkan raksa turun dalam pembuluh pipa kapiler dikarenakan kohesi. Sekarang banyak dikembangkan teknologi yang mendasarkan pada gaya adhesi maupun kohesi. Beberapa tekstil kain tiruan menghasilkan kain yang kohesif terhadap debu. Jadi, pakaian dari bahan tersebut tidak mudah kotor. Di lain pihak, banyak ditemukan bahan-bahan adhesif serbaguna, lem alteco, dan sejenisnya sangat berguna bagi kehidupan. Bahkan, luka bekas operasi sekarang tidak perlu dijahit melainkan cukup dilem dengan lem khusus yang adhesif dengan jaringan kulit dan otot. Beberapa contoh gejala kapilaritas yang berkaitan dengan peristiwa alam yaitu:

1. peristiwa naiknya air dari ujung akar ke daun pada tumbuhan
2. naiknya minyak tanah pada sumbu kompor
3. basahnya tembok rumah bagian dalam ketika hujan. Ketika terkena hujan, tembok bagian luar akan basah, kemudian merembes ke bagian yang lebih dalam.

operasi hitung bilangan bulat, belajar yuk dek!

Operasi Hitung pada Bilangan Bulat

Saturday, August 1st, 2015 - Bilangan Bulat, Kelas 7, Matematika SMP

Operasi Hitung pada Bilangan Bulat – Pada kesempatan ini Admin rumusmatematika.net akan berbagi tentang Operasi Hitung pada Bilangan Bulat khusus untuk Matematika SMP Kelas 7, berikut penjelasan lengkapnya.

1. Penjumlahan Bilangan Bulat

Pada kesempatan ini akan dibahas masalah bilangan bulat, yaitu Penjumlahan Bilangan Bulat. Berikut ini penjelasan lengkapnya.

a. Penjumlahan Bilangan Bulat dengan Alat Bantu

Dalam menghitung hasil penjumlahan dua bilangan bulat, dapat digunakan dengan menggunakan garis bilangan. Bilangan yang dijumlahkan digambarkan dengan anak panah dengan arah sesuai dengan bilangan tersebut.

Apabila bilangan positif, anak panah menunjuk ke arah kanan. Sebaliknya, apabila bilangan negatif, anak panah menunjuk ke arah kiri.

Contoh Soal :

Hitunglah hasil penjumlahan berikut dengan menggunakan garis bilangan.

1. 6 + (–8)

Penyelesaian :

Untuk menghitung 6 + (–8), langkah-langkahnya sebagai berikut.

(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 6 satuan ke kanan sampai pada angka 6.

(b) Gambarlah anak panah tadi dari angka 6 sejauh 8 satuan ke kiri.

(c) Hasilnya, 6 + (–8) = –2.

2. (–3) + (–4)

Penyelesaian :

Untuk menghitung (–3) + (–4), langkah-langkahnya sebagai berikut.

(a) Gambarlah anak panah dari 0 sejauh 3 satuan ke kiri sampai pada angka –3.

(b) Gambarlah anak panah tadi dari angka –3 sejauh 4 satuan ke kiri.

(c) Hasilnya, (–3) + (–4) = –7.

b. Penjumlahan Bilangan Bulat tanpa Alat Bantu

Penjumlahan pada bilangan yang bernilai kecil dapat dilakukan dengan bantuan garis bilangan. Namun, untuk bilangan-bilangan yang bernilai besar, hal itu tidak dapat dilakukan. Oleh karena itu, kita harus dapat menjumlahkan bilangan bulat tanpa alat bantu.

1) Kedua bilangan bertanda sama

Jika kedua bilangan bertanda sama (keduanya bilangan positif atau k eduanya b ilangan n egatif), jumlahkan k edua bilangan tersebut. Hasilnya berilah tanda sama dengan tanda kedua bilangan.

Contoh:

a) 125 + 234 = 359

b) –58 + (–72) = –(58 + 72) = –130

2) Kedua bilangan berlawanan tanda

Jika kedua bilangan berlawanan tanda (bilangan positif dan bilangan negatif), kurangi bilangan yang bernilai lebih besar dengan bilangan yang bernilai lebih kecil tanpa memerhatikan tanda. Hasilnya, berilah tanda sesuai bilangan yang bernilai lebih besar.

Contoh:

a) 75 + (–90) = –(90 – 75) = –15

b) (–63) + 125 = 125 – 63 = 62

2. Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat

Pada kesempatan ini kita akan membahas Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat, ada 5 Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat yang akan dibahas. Diantaranya sifat tertutup, sifat komutatif, Mempunyai unsur identitas, sifat asosiatif dan mempunyai invers. 

a. Sifat tertutup

Pada penjumlahan bilangan bulat, selalu menghasilkan bilangan bulat juga. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat adan b, berlaku a+ b= c dengan c juga bilangan bulat

Contoh :

a. –16 + 25 = 9

–16 dan 25 merupakan bilangan bulat.

9 juga merupakan bilangan bulat.

b. 24 + (–8) = 16

24 dan –8 merupakan bilangan bulat.

16 juga merupakan bilangan bulat.

b. Sifat komutatif

Sifat komutatif disebut juga sifat pertukaran. Penjumlahan dua bilangan bulat selalu diperoleh hasil yang sama walaupun kedua bilangan tersebut dipertukarkan tempatnya. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulatadan b, selalu berlaku a+ b= b+ a.

Contoh :

a. 6 + 5 = 5 + 6 = 11

b. (–7) + 4 = 4 + (–7) = –3

c. 8 + (–12) = (–12) + 8 = –4

d. (–9) + (–11) = (–11) + (–9) = –20

c. Mempunyai unsur identitas

Bilangan 0 (nol) merupakan unsur identitas pada penjumlahan. Artinya, untuk sebarang bilangan bulat apabila ditambah 0 (nol), hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku a+ 0 = 0 + a= a.

d. Sifat asosiatif

Sifat asosiatif disebut juga sifat pengelompokan. Sifat ini dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c, berlaku (a+ b) + c= a+ (b+ c).

Contoh :

a. (4 + (–5)) + 6 = –1 + 6

= 5

4 + ((–5) + 6) = 4 + 1

= 5

Jadi, (4 + (–5)) + 6 = 4 + ((–5) + 6).

b. (–3 + (–9)) + 10 = –12 + 10

= –2

–3 + ((–9) + 10) = –3 + 1

= –2

Jadi, (–3 + (–9)) + 10 = –3 + ((–9) + 10).

e. Mempunyai invers

Invers suatu bilangan artinya lawan dari bilangan tersebut. Suatu bilangan dikatakan mempunyai invers jumlah, apabila hasil penjumlahan bilangan tersebut dengan inversnya (lawannya) merupakan unsur identitas (0 (nol)).

Lawan dari aadalah –a, sedangkan lawan dari – a adalah a.

Dengan kata lain, untuk setiap bilangan bulat selain nol pasti mempunyai lawan, sedemikian sehingga berlaku a+ (–a) = (–a) + a= 0.

3. Pengurangan pada Bilangan Bulat

Seperti pada penjumlahan bilangan bulat, untuk menghitung hasil pengurangan dua bilangan bulat dapat digunakan bantuan garis bilangan. Namun sebelumnya coba kalian ingat kembali materi di tingkat sekolah dasar, bahwa operasi pengurangan merupakan penjumlahan dengan lawan bilangan pengurang.

Perhatikan uraian berikut.

a. Pengurangan dinyatakan sebagai penjumlahan dengan lawan bilangan pengurang

Bandingkan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut.

Dari perbandingan di atas, diperoleh hubungan sebagai berikut.

4 – 3 = 4 + (–3) = 1

–5 – (–2) = –5 + 2 = –3

Pada pengurangan bilangan bulat, mengurangidengan suatu bilangansama artinya dengan menambahdengan lawan pengurangnya. Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat adanb, maka berlaku a – b = a + (–b).

Contoh :

a. 7 – 9 = 7 + (–9) = –2

b. –8 – 6 = –8 + (–6) = –14

c. 15 – (–5) = 15 + 5 = 20

d. –12 – (–6) = –12 + 6 = –6

Pada contoh di atas da pat kalian lihat bahwa hasil dari pengurangan dua bilangan bulat, juga menghasilkan bilangan bulat.

Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa pada operasi pengurangan bilangan bulat berlaku sifat tertutup.

b. Pengurangan dengan alat bantu

Berdasarkan penjelasan di atas, pelajarilah cara menghitung hasil pengurangan dua bilangan bulat dengan bantuan garis bilangan berikut ini.

Contoh :

1. 4 – 7

Penyelesaian:

Untuk menghitung 4 – 7, langkah-langkahnya sebagai berikut.

(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 4 satuan ke kanan sampai pada angka 4.

(b) Gambarlah anak panah tersebut dari angka 4 sejauh 7 satuan ke kiri sampai pada angka –3.

(c) Hasilnya, 4 – 7 = –3.

2. –3 – (–5)

Penyelesaian:

Langkah-langkah u ntuk menghitung – 3 – ( –5) s ebagai berikut.

(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 3 satuan ke kiri sampai pada angka –3.

(b) Gambarlah anak panah tersebut dari angka –3 sejauh 5 satuan ke kanan sampai pada angka 2.

(c) Hasilnya, –3 – (–5) = 2.

4. Perkalian pada Bilangan Bulat

Kalian telah mengetahui bahwa perkalian adalah operasi penjumlahan berulang dengan bilangan yang sama. Perhatikan contoh berikut.
4 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20
5 x 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20

Meskipun hasilnya sama, perkalian 4 u5 dan 5 u4 berbeda artinya. Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut.

a. Menghitung hasil perkalian bilangan bulat

Perhatikan uraian berikut.
2 x 4 = 4 + 4 = 8
2 x 3 = 3 + 3 = 6
2 x 2 = 2 + 2 = 4
2 x 1 = 1 + 1 = 2
2 x 0 = 0 + 0 = 0
–2 x 4 = – (2 x 4) = – (4 + 4) = –8
–2 x 3 = – (2 x 3) = – (3 + 3) = –6
–2 x 2 = – (2 x 2) = – (2 + 2) = –4
–2 x 1 = – (2 x 1) = – (1 + 1) = –2
–2 x 0 = – (2 x 0) = – (0 + 0) = 0
2 x (–2) = (–2) + (–2) = –4
2 x (–1) = (–1) + (–1) = –2
(–2) x (–3) = – (2 x (–3)) = – ((–3) + (–3)) = 6
(–2) x (–2) = – (2 x (–2)) = – ((–2) + (–2)) = 4
(–2) x (–1) = – (2 x (–1)) = – ((–1) + (–1)) = 2

Jika kalian mengamati perkalian bilangan di atas, kalian akan memperoleh sifat-sifat berikut.

Jika p dan q adalah bilangan bulat maka
1) p x q=pq;
2) (–p) x q= –(p x q) = –pq;
3) p x (–q) = –(p x q) = –pq;
4) (–p) x (–q) = p x q = pq.

b. Sifat-sifat perkalian pada bilangan bulat

1) Sifat tertutup

Untuk mengetahui sifat tertutup pada perkalian bilangan bulat, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.

3 x 8 = …. 3 x (–8) = ….

(–3) x 8 = …. (–3) x (–8) = ….

Apakah hasil perkalian bilangan di atas juga merupakan bilangan bulat? Jika kalian mengerjakan dengan benar , kalian akan memperoleh sifat berikut.

Untuk setiap bilangan bulat pdanq, selalu berlaku p x q =r dengan r juga bilangan bulat.

2) Sifat komutatif

Untuk mengetahui sifat komutatif pada perkalian bilangan bulat, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.

2 x (–5) = …. (–3) x (–4) = ….

(–5) x 2 = …. (–4) x (–3) = ….

Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas? Jika kalian mengerjakan dengan benar , kalian akan memperoleh sifat berikut.

Untuk setiap bilangan bulat pdanq, selalu berlaku p x q = q x p.

3) Sifat asosiatif

Untuk mengetahui sifat asosiatif pada perkalian bilangan bulat, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.

3 x (–2 x 4) = …. (–2 x 6) x 4 = ….

(3 x (–2)) x 4 = …. –2 x (6 x 4) = ….

Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas?

Jika kalian mengerjakan dengan benar , kalian akan memperoleh sifat berikut.

Untuk setiap bilangan bulat p,q, dan rselalu berlaku (p x q) x r=p x (q x r).

4) Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

Untuk mengetahui sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.

2 x (4 + (–3)) = …. (–3) x (–8 + 5) = ….

(2 x 4) + (2 x (–3)) = …. ((–3) x (–8)) + (–3 x 5) = ….

Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas?

Jika kalian mengerjakan dengan benar , kalian akan memperoleh sifat berikut.

Untuk setiap bilangan bulat p,q, dan rselalu berlaku p x (q+r) = (p x q) + (p x r).

5) Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan

Untuk mengetahui sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.

5 x (8 – (–3)) = …. 6 x (–7 – 4) = ….

(5 x 8) – (5 x (–3)) = …. (6 x (–7)) – (6 x 4) = ….

Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas?

Jika kalian mengerjakan dengan benar , kalian akan memperoleh sifat berikut.

Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku p x (q–r) = (p x q) – (p x r).

6) Memiliki elemen identitas

Untuk mengetahui elemen identitas pada perkalian, tulis dan tentukan hasil perkalian berikut.

3 x 1 = …. (–4) x 1 = ….

1 x 3 = …. 1 x (–4) = ….

Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas?

Jika kalian mengerjakan dengan benar , kalian akan memperoleh sifat berikut.

Untuk setiap bilangan bulat p, selalu berlaku p x 1 = 1 x p = p. Elemen identitas pada perkalian adalah 1.

5. Pembagian Bilangan Bulat

Pada kesempatan ini kita akan membahas Pembagian Bilangan Bulat, pada sebelumnya juga sudah dibahas tentang Perkalian pada Bilangan Bulat dan Pengurangan pada Bilangan Bulat.

a. Pembagian sebagai operasi kebalikan dari perkalian

Perhatikan uraian berikut.

(i) 3 x 4 = 4 + 4 + 4 = 12

Di lain pihak, 12 : 3 = 4 atau dapat ditulis

3 x 4 = 12 ⇔ œ12 : 3 = 4.

(ii) 4 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12

Di lain pihak, 12 : 4 = 3, sehingga dapat ditulis

4 x 3 = 12 œ⇔ 12 : 4 = 3.

Dari uraian di atas, tampak bahwa pembagian merupakan operasi kebalikan (invers) dari perkalian. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut

Jika p,q, dan r bilangan bulat, dengan q faktor p,dan q ≠ 0 maka berlaku p:q = r ⇔ œp = q x r.

b. Menghitung hasil pembagian bilangan bulat

Coba ingat kembali sifat perkalian pada bilangan bulat. Dari sifat tersebut, diperoleh kesimpulan berikut.

Untuk setiap p, q, r bilangan bulat, q ≠ 0 dan memenuhi p:q=r berlaku
(i) jika p,q bertanda sama, r adalah bilangan bulat positif;
(ii) jika p,q berlainan tanda, r adalah bilangan bulat negatif.

c. Pembagian dengan bilangan nol

Untuk menentukan hasil pembagian bilangan bulat dengan bilangan nol (0), ingat kembali perkalian bilangan bulat dengan bilangan nol. Untuk setiap a bilangan bulat berlaku
a x 0 = 0 œ⇔ 0 : a= 0

Jadi, dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat a, berlaku 0 : a = 0; a ≠ 0.

Hal ini tidak berlaku jika a= 0, karena 0 : 0 = tidak terdefinisi.

d. Sifat pembagian pada bilangan bulat

Apakah pembagian pada bilangan bulat bersifat tertutup?

Perhatikan bahwa

15 : 3 = 5

8 : 2 = 4

2 : 2 = 1

Sekarang, berapakah nilai dari 4 : 3?

Apakah kalian menemukan nilai dari 4 : 3 merupakan bilangan bulat?

Jawabannya adalah tidak ada. Karena tidak ada bilangan bulat yang memenuhi, maka hal ini sudah cukup untuk menyatakan bahwa pembagian pada bilangan bulat tidakbersifattertutup.

Sekarang perhatikan bahwa 8 : 2 = 4. Apakah ada bilangan bulat yang memenuhi 2 : 8? Karena tidak ada bilangan bulat yang memenuhi 2 : 8, maka pada pembagian tidak berlaku sifat komutatif.

Untuk mengetahui apakah pada pembagian bilangan bulat berlaku sifat asosiatif, perhatikan bahwa (12 : 6) : 2 = 1 tetapi 12 : (6 : 2) = 4.

Dari contoh di atas, dapat diketahui bahwa pada pembagian bilangan bulat tidak berlaku sifat asosiatif

Read more: http://www.rumusmatematika.net/operasi-hitung-pada-bilangan-bulat.html#ixzz4QnBxc7VH