Information
Operasi Hitung pada Bilangan Bulat
Operasi Hitung pada Bilangan Bulat – Pada kesempatan ini Admin rumusmatematika.net akan berbagi tentang Operasi Hitung pada Bilangan Bulat khusus untuk Matematika SMP Kelas 7, berikut penjelasan lengkapnya.
Pada kesempatan ini akan dibahas masalah bilangan bulat, yaitu Penjumlahan Bilangan Bulat. Berikut ini penjelasan lengkapnya.
Dalam
menghitung hasil penjumlahan dua bilangan bulat, dapat digunakan dengan
menggunakan garis bilangan. Bilangan yang dijumlahkan digambarkan
dengan anak panah dengan arah sesuai dengan bilangan tersebut.
Apabila
bilangan positif, anak panah menunjuk ke arah kanan. Sebaliknya,
apabila bilangan negatif, anak panah menunjuk ke arah kiri.
Contoh Soal :
Hitunglah hasil penjumlahan berikut dengan menggunakan garis bilangan.
1. 6 + (–8)
Penyelesaian :
Untuk menghitung 6 + (–8), langkah-langkahnya sebagai berikut.
(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 6 satuan ke kanan sampai pada angka 6.
(b) Gambarlah anak panah tadi dari angka 6 sejauh 8 satuan ke kiri.
(c) Hasilnya, 6 + (–8) = –2.
2. (–3) + (–4)
Penyelesaian :
Untuk menghitung (–3) + (–4), langkah-langkahnya sebagai berikut.
(a) Gambarlah anak panah dari 0 sejauh 3 satuan ke kiri sampai pada angka –3.
(b) Gambarlah anak panah tadi dari angka –3 sejauh 4 satuan ke kiri.
(c) Hasilnya, (–3) + (–4) = –7.
Penjumlahan
pada bilangan yang bernilai kecil dapat dilakukan dengan bantuan garis
bilangan. Namun, untuk bilangan-bilangan yang bernilai besar, hal itu
tidak dapat dilakukan. Oleh karena itu, kita harus dapat menjumlahkan
bilangan bulat tanpa alat bantu.
1) Kedua bilangan bertanda sama
Jika
kedua bilangan bertanda sama (keduanya bilangan positif atau k eduanya b
ilangan n egatif), jumlahkan k edua bilangan tersebut. Hasilnya berilah
tanda sama dengan tanda kedua bilangan.
Contoh:
a) 125 + 234 = 359
b) –58 + (–72) = –(58 + 72) = –130
2) Kedua bilangan berlawanan tanda
Jika
kedua bilangan berlawanan tanda (bilangan positif dan bilangan
negatif), kurangi bilangan yang bernilai lebih besar dengan bilangan
yang bernilai lebih kecil tanpa memerhatikan tanda. Hasilnya, berilah
tanda sesuai bilangan yang bernilai lebih besar.
Contoh:
a) 75 + (–90) = –(90 – 75) = –15
b) (–63) + 125 = 125 – 63 = 62
Pada kesempatan ini kita akan membahas Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat, ada
5 Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat yang akan dibahas. Diantaranya
sifat tertutup, sifat komutatif, Mempunyai unsur identitas, sifat
asosiatif dan mempunyai invers.
a. Sifat tertutup
Pada penjumlahan bilangan bulat, selalu menghasilkan bilangan bulat juga. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.
Untuk setiap bilangan bulat adan b, berlaku a+ b= c dengan c juga bilangan bulat
Contoh :
a. –16 + 25 = 9
–16 dan 25 merupakan bilangan bulat.
9 juga merupakan bilangan bulat.
b. 24 + (–8) = 16
24 dan –8 merupakan bilangan bulat.
16 juga merupakan bilangan bulat.
b. Sifat komutatif
Sifat
komutatif disebut juga sifat pertukaran. Penjumlahan dua bilangan bulat
selalu diperoleh hasil yang sama walaupun kedua bilangan tersebut
dipertukarkan tempatnya. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.
Untuk setiap bilangan bulatadan b, selalu berlaku a+ b= b+ a.
Contoh :
a. 6 + 5 = 5 + 6 = 11
b. (–7) + 4 = 4 + (–7) = –3
c. 8 + (–12) = (–12) + 8 = –4
d. (–9) + (–11) = (–11) + (–9) = –20
c. Mempunyai unsur identitas
Bilangan
0 (nol) merupakan unsur identitas pada penjumlahan. Artinya, untuk
sebarang bilangan bulat apabila ditambah 0 (nol), hasilnya adalah
bilangan itu sendiri. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.
Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku a+ 0 = 0 + a= a.
d. Sifat asosiatif
Sifat asosiatif disebut juga sifat pengelompokan. Sifat ini dapat dituliskan sebagai berikut.
Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c, berlaku (a+ b) + c= a+ (b+ c).
Contoh :
a. (4 + (–5)) + 6 = –1 + 6
= 5
4 + ((–5) + 6) = 4 + 1
= 5
Jadi, (4 + (–5)) + 6 = 4 + ((–5) + 6).
b. (–3 + (–9)) + 10 = –12 + 10
= –2
–3 + ((–9) + 10) = –3 + 1
= –2
Jadi, (–3 + (–9)) + 10 = –3 + ((–9) + 10).
e. Mempunyai invers
Invers
suatu bilangan artinya lawan dari bilangan tersebut. Suatu bilangan
dikatakan mempunyai invers jumlah, apabila hasil penjumlahan bilangan
tersebut dengan inversnya (lawannya) merupakan unsur identitas (0
(nol)).
Lawan dari aadalah –a, sedangkan lawan dari – a adalah a.
Dengan
kata lain, untuk setiap bilangan bulat selain nol pasti mempunyai
lawan, sedemikian sehingga berlaku a+ (–a) = (–a) + a= 0.
Seperti
pada penjumlahan bilangan bulat, untuk menghitung hasil pengurangan dua
bilangan bulat dapat digunakan bantuan garis bilangan. Namun sebelumnya
coba kalian ingat kembali materi di tingkat sekolah dasar, bahwa
operasi pengurangan merupakan penjumlahan dengan lawan bilangan
pengurang.
Perhatikan uraian berikut.
a. Pengurangan dinyatakan sebagai penjumlahan dengan lawan bilangan pengurang
Bandingkan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut.
Dari perbandingan di atas, diperoleh hubungan sebagai berikut.
4 – 3 = 4 + (–3) = 1
–5 – (–2) = –5 + 2 = –3
Pada
pengurangan bilangan bulat, mengurangidengan suatu bilangansama artinya
dengan menambahdengan lawan pengurangnya. Secara umum, dapat dituliskan
sebagai berikut.
Untuk setiap bilangan bulat adanb, maka berlaku a – b = a + (–b).
Contoh :
a. 7 – 9 = 7 + (–9) = –2
b. –8 – 6 = –8 + (–6) = –14
c. 15 – (–5) = 15 + 5 = 20
d. –12 – (–6) = –12 + 6 = –6
Pada contoh di atas da pat kalian lihat bahwa hasil dari pengurangan dua bilangan bulat, juga menghasilkan bilangan bulat.
Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa pada operasi pengurangan bilangan bulat berlaku sifat tertutup.
b. Pengurangan dengan alat bantu
Berdasarkan
penjelasan di atas, pelajarilah cara menghitung hasil pengurangan dua
bilangan bulat dengan bantuan garis bilangan berikut ini.
Contoh :
1. 4 – 7
Penyelesaian:
Untuk menghitung 4 – 7, langkah-langkahnya sebagai berikut.
(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 4 satuan ke kanan sampai pada angka 4.
(b) Gambarlah anak panah tersebut dari angka 4 sejauh 7 satuan ke kiri sampai pada angka –3.
(c) Hasilnya, 4 – 7 = –3.
2. –3 – (–5)
Penyelesaian:
Langkah-langkah u ntuk menghitung – 3 – ( –5) s ebagai berikut.
(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 3 satuan ke kiri sampai pada angka –3.
(b) Gambarlah anak panah tersebut dari angka –3 sejauh 5 satuan ke kanan sampai pada angka 2.
(c) Hasilnya, –3 – (–5) = 2.
Kalian
telah mengetahui bahwa perkalian adalah operasi penjumlahan berulang
dengan bilangan yang sama. Perhatikan contoh berikut.
4 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20
5 x 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20
4 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20
5 x 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20
Meskipun hasilnya sama, perkalian 4 u5 dan 5 u4 berbeda artinya. Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut.
a. Menghitung hasil perkalian bilangan bulat
Perhatikan uraian berikut.
2 x 4 = 4 + 4 = 8
2 x 3 = 3 + 3 = 6
2 x 2 = 2 + 2 = 4
2 x 1 = 1 + 1 = 2
2 x 0 = 0 + 0 = 0
–2 x 4 = – (2 x 4) = – (4 + 4) = –8
–2 x 3 = – (2 x 3) = – (3 + 3) = –6
–2 x 2 = – (2 x 2) = – (2 + 2) = –4
–2 x 1 = – (2 x 1) = – (1 + 1) = –2
–2 x 0 = – (2 x 0) = – (0 + 0) = 0
2 x (–2) = (–2) + (–2) = –4
2 x (–1) = (–1) + (–1) = –2
(–2) x (–3) = – (2 x (–3)) = – ((–3) + (–3)) = 6
(–2) x (–2) = – (2 x (–2)) = – ((–2) + (–2)) = 4
(–2) x (–1) = – (2 x (–1)) = – ((–1) + (–1)) = 2
2 x 4 = 4 + 4 = 8
2 x 3 = 3 + 3 = 6
2 x 2 = 2 + 2 = 4
2 x 1 = 1 + 1 = 2
2 x 0 = 0 + 0 = 0
–2 x 4 = – (2 x 4) = – (4 + 4) = –8
–2 x 3 = – (2 x 3) = – (3 + 3) = –6
–2 x 2 = – (2 x 2) = – (2 + 2) = –4
–2 x 1 = – (2 x 1) = – (1 + 1) = –2
–2 x 0 = – (2 x 0) = – (0 + 0) = 0
2 x (–2) = (–2) + (–2) = –4
2 x (–1) = (–1) + (–1) = –2
(–2) x (–3) = – (2 x (–3)) = – ((–3) + (–3)) = 6
(–2) x (–2) = – (2 x (–2)) = – ((–2) + (–2)) = 4
(–2) x (–1) = – (2 x (–1)) = – ((–1) + (–1)) = 2
Jika kalian mengamati perkalian bilangan di atas, kalian akan memperoleh sifat-sifat berikut.
Jika p dan q adalah bilangan bulat maka
1) p x q=pq;
2) (–p) x q= –(p x q) = –pq;
3) p x (–q) = –(p x q) = –pq;
4) (–p) x (–q) = p x q = pq.
b. Sifat-sifat perkalian pada bilangan bulat
1) Sifat tertutup
Untuk mengetahui sifat tertutup pada perkalian bilangan bulat, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.
3 x 8 = …. 3 x (–8) = ….
(–3) x 8 = …. (–3) x (–8) = ….
Apakah
hasil perkalian bilangan di atas juga merupakan bilangan bulat? Jika
kalian mengerjakan dengan benar , kalian akan memperoleh sifat berikut.
Untuk setiap bilangan bulat pdanq, selalu berlaku p x q =r dengan r juga bilangan bulat.
2) Sifat komutatif
Untuk mengetahui sifat komutatif pada perkalian bilangan bulat, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.
2 x (–5) = …. (–3) x (–4) = ….
(–5) x 2 = …. (–4) x (–3) = ….
Apa
yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di
atas? Jika kalian mengerjakan dengan benar , kalian akan memperoleh
sifat berikut.
Untuk setiap bilangan bulat pdanq, selalu berlaku p x q = q x p.
3) Sifat asosiatif
Untuk mengetahui sifat asosiatif pada perkalian bilangan bulat, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.
3 x (–2 x 4) = …. (–2 x 6) x 4 = ….
(3 x (–2)) x 4 = …. –2 x (6 x 4) = ….
Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas?
Jika kalian mengerjakan dengan benar , kalian akan memperoleh sifat berikut.
Untuk setiap bilangan bulat p,q, dan rselalu berlaku (p x q) x r=p x (q x r).
4) Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan
Untuk mengetahui sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.
2 x (4 + (–3)) = …. (–3) x (–8 + 5) = ….
(2 x 4) + (2 x (–3)) = …. ((–3) x (–8)) + (–3 x 5) = ….
Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas?
Jika kalian mengerjakan dengan benar , kalian akan memperoleh sifat berikut.
Untuk setiap bilangan bulat p,q, dan rselalu berlaku p x (q+r) = (p x q) + (p x r).
5) Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan
Untuk mengetahui sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.
5 x (8 – (–3)) = …. 6 x (–7 – 4) = ….
(5 x 8) – (5 x (–3)) = …. (6 x (–7)) – (6 x 4) = ….
Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas?
Jika kalian mengerjakan dengan benar , kalian akan memperoleh sifat berikut.
Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku p x (q–r) = (p x q) – (p x r).
6) Memiliki elemen identitas
Untuk mengetahui elemen identitas pada perkalian, tulis dan tentukan hasil perkalian berikut.
3 x 1 = …. (–4) x 1 = ….
1 x 3 = …. 1 x (–4) = ….
Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas?
Jika kalian mengerjakan dengan benar , kalian akan memperoleh sifat berikut.
Untuk setiap bilangan bulat p, selalu berlaku p x 1 = 1 x p = p. Elemen identitas pada perkalian adalah 1.
Pada kesempatan ini kita akan membahas Pembagian Bilangan Bulat, pada sebelumnya juga sudah dibahas tentang Perkalian pada Bilangan Bulat dan Pengurangan pada Bilangan Bulat.
a. Pembagian sebagai operasi kebalikan dari perkalian
Perhatikan uraian berikut.
(i) 3 x 4 = 4 + 4 + 4 = 12
Di lain pihak, 12 : 3 = 4 atau dapat ditulis
3 x 4 = 12 ⇔ œ12 : 3 = 4.
(ii) 4 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12
Di lain pihak, 12 : 4 = 3, sehingga dapat ditulis
4 x 3 = 12 œ⇔ 12 : 4 = 3.
Dari
uraian di atas, tampak bahwa pembagian merupakan operasi kebalikan
(invers) dari perkalian. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut
Jika p,q, dan r bilangan bulat, dengan q faktor p,dan q ≠ 0 maka berlaku p:q = r ⇔ œp = q x r.
b. Menghitung hasil pembagian bilangan bulat
Coba ingat kembali sifat perkalian pada bilangan bulat. Dari sifat tersebut, diperoleh kesimpulan berikut.
Untuk setiap p, q, r bilangan bulat, q ≠ 0 dan memenuhi p:q=r berlaku
(i) jika p,q bertanda sama, r adalah bilangan bulat positif;
(ii) jika p,q berlainan tanda, r adalah bilangan bulat negatif.
c. Pembagian dengan bilangan nol
Untuk
menentukan hasil pembagian bilangan bulat dengan bilangan nol (0),
ingat kembali perkalian bilangan bulat dengan bilangan nol. Untuk setiap
a bilangan bulat berlaku
a x 0 = 0 œ⇔ 0 : a= 0
a x 0 = 0 œ⇔ 0 : a= 0
Jadi, dapat dituliskan sebagai berikut.
Untuk setiap bilangan bulat a, berlaku 0 : a = 0; a ≠ 0.
Hal ini tidak berlaku jika a= 0, karena 0 : 0 = tidak terdefinisi.
d. Sifat pembagian pada bilangan bulat
Apakah pembagian pada bilangan bulat bersifat tertutup?
Perhatikan bahwa
15 : 3 = 5
8 : 2 = 4
2 : 2 = 1
Sekarang, berapakah nilai dari 4 : 3?
Apakah kalian menemukan nilai dari 4 : 3 merupakan bilangan bulat?
Jawabannya
adalah tidak ada. Karena tidak ada bilangan bulat yang memenuhi, maka
hal ini sudah cukup untuk menyatakan bahwa pembagian pada bilangan bulat
tidakbersifattertutup.
Sekarang
perhatikan bahwa 8 : 2 = 4. Apakah ada bilangan bulat yang memenuhi 2 :
8? Karena tidak ada bilangan bulat yang memenuhi 2 : 8, maka pada
pembagian tidak berlaku sifat komutatif.
Untuk
mengetahui apakah pada pembagian bilangan bulat berlaku sifat
asosiatif, perhatikan bahwa (12 : 6) : 2 = 1 tetapi 12 : (6 : 2) = 4.
Dari contoh di atas, dapat diketahui bahwa pada pembagian bilangan bulat tidak berlaku sifat asosiatif
0 Comment